통신이론) AM변조기술 중 SSB (Single Side Band), USB, LSB

AM(Amplitde Modulation : 진폭 변조 방식) 과 FM(Frequency Modulation : 주파수 변조방식)

중에서, AM의 신호를 변조하는 방식은 대역폭이 넓어지는 단점이 있다.

보내고자 하는 원 신호를 m(t)라고 하면, cosin으로 복조 한 경우, Frequency domain에서는 오메가_c만큼 양쪽으로 평행이동 된 m(t)/2가 하나씩 생긴다. 즉, 대역폭이 커졌다고 할 수 있다.

 

이때, 대역폭은 곧 자원이므로 줄일수록 좋다.

 

AM 신호는 대역폭 내에서 양쪽측면이 대칭인 복소 성분을 가지고 있다. 따라서 아래와 같이 대칭되는 부분중 한 쪽의 성분만 보내더라도, 신호를 받는 쪽에서는 원 신호가 무엇인지 유추할 수 있다.

이때, 안쪽의 신호를 Lower Sideband, 바깥쪽을 UpperSide band라고 하며, 이들을 줄여서 각각 USB, LSB라고 한다.

SSB = LSB + USB 로 표현할 수 있지만,

아래와 같이 M+(w) + M-(w) 로도 나타낼 수 있다. ( 이 글에서 w는 라지 오메가를 대체한다.)

 

따라서, M(w)는 아래와 같이 두 부분으로 나눌 수 있으며, 상술했던 USB, LSB와 크게 다르지 않은 개념이다.

 이 때, 반반씩 나뉜 M+ 부분과 M-부분은 허수가 섞인 복소수(complex)임을 명심하자.

 

M+ 부분을 구하기 위해, Frequency domain에서, M(w)와 unitstep인 U(w)를 곱해보자.

U(w) 는 sgn로 나타낼 수 있고, 이를 이용해 M+(w)를 나타내면 아래와 같다.

결론 부분이 이상한 값이 나왔는데, m_h(t)는 Hilbert transform을 거쳤다.

힐베르트

-j sgn(w) 의 역 Fourier Transform은 1/pit 이며, Frequency domain에서 곱은 Time domain에서 건볼루션이므로,

원신호 m(t)와 1/(pi t) 의 컨볼루션 값을 m(t)의 Hilbert Transform 이라 하여 m_h(t)라고 쓴다.

 

같은 논리로 M-(w)는 아래와 같다.

USB와 LSB의 Time domain에서의 H.F 표현

 

이렇게 하여, LSB(t)와 USB(t)는 서로 conjugate인 관계이며, SSB = LSB + USB 임을 알 수 있다.

 

다비드 힐베르트 (출처 위키백과) (썸네일용)